解と係数の関係

(1)\(\small{ \ 2 \ }\)次方程式\(\small{ \ x^2+px+8=0 \ }\)の\(\small{ \ 2 \ }\)つの解の差が\(\small{ \ 3 \ }\)であるとき、実数の定数\(\small{ \ p \ }\)の値を求めよ。
(2)\(\small{ \ 2 \ }\)次方程式\(\small{ \ x^2-p^2x-p=0 \ }\)の2つの解は\(\small{ \ x^2+px-1=0 \ }\)の\(\small{ \ 2 \ }\)つの解に、それぞれ\(\small{ \ 1 \ }\)を加えたものに等しいという。実数の定数\(\small{ \ p \ }\)の値を求めよ。

(1)\(\small{ \ 2 \ }\)次方程式\(\small{ \ x^2+px+8=0 \ }\)の解は\(\small{ \ \alpha \ }\)と\(\small{ \ \alpha+3 \ }\)とおける
解と係数の関係より
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha+\alpha +3=-p\\
\alpha (\alpha +3)=8
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
\(\small{ \ \alpha^2+3\alpha-8=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore \alpha=\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{3^2+32}}{2}=\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{41}}{2} \ }\)
\(\small{ \ p=2\alpha+3=\pm\sqrt{41} \ }\)

(2)\(\small{ \ x^2+px-1=0 \ }\)の解を\(\small{ \ x=\alpha, \ \beta \ }\)とする
解と係数の関係より
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha+\beta=-p\cdots①\\
\alpha\beta=-1\cdots②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
\(\small{ \ x^2-p^2x-p=0 \ }\)の解は\(\small{ \ x=\alpha+1, \ \beta+1 \ }\)となるので
解と係数の関係より
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha+\beta+2=p^2\cdots③\\
(\alpha+1)(\beta+1)=-p\cdots④
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
\(\small{①, \ ③ }\)より
\(\small{ \ p^2-2=-p \ }\)
\(\small{ \ p^2+p-2=0 \ }\)
\(\small{ \ (p+2)(p-1)=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore p=-2, \ 1 \ }\)
これは\(\small{ ②, \ ④ }\)も満たす。
よって\(\small{ \ p=-2, \ 1 \ }\)

\(\small{ \ 2x^2-4x+1=0 \ }\)の解を\(\small{ \ x=\alpha, \ \beta \ }\)とするとき、次の式の値を求めよ。
(1)\(\small{ \ \alpha^2\beta+\alpha\beta^2 \ }\)
(2)\(\small{ \ (\alpha-\beta)^2 \ }\)
(3)\(\small{ \ \alpha^3+\beta^3 \ }\)
(4)\(\small{ \ \displaystyle\frac{\alpha^2}{\beta}+\displaystyle\frac{\beta^2}{\alpha} \ }\)

\(\small{ \ \alpha+\beta=2 \ }\)
\(\small{ \ \alpha\beta=\displaystyle\frac{1}{2} \ }\)
(1)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \alpha^2\beta+\alpha\beta^2&=&\alpha\beta(\alpha+\beta)\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2}\cdot2\\
&=&1 \ \end{eqnarray}}\)

(2)
\(\small{\begin{eqnarray} \ (\alpha-\beta)^2&=&(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\\
&=&2^2-4\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\\
&=&2 \ \end{eqnarray}}\)

(3)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \alpha^3+\beta^3&=&(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\\
&=&2^3-3\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\cdot2\\
&=&5 \ \end{eqnarray}}\)

(4)
\(\small{ \begin{eqnarray}\ \displaystyle\frac{\alpha^2}{\beta}+\displaystyle\frac{\beta^2}{\alpha}&=&\displaystyle\frac{\alpha^3+\beta^3}{\alpha\beta}\\
&=&5\cdot2\\
&=&10 \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{ \ x \ }\)についての\(\small{ \ 3 \ }\)次方程式\(\small{ \ f(x)=0 \ }\)の\(\small{ \ 3 \ }\)つの解を\(\small{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma \ }\)とするとき、\(\small{ \ f(x) \ }\)と\(\small{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma \ }\)は次の条件を満たしている。
(A)\(\small{ \ f(0)=6 \ }\)
(B)\(\small{ \ f(x)-f(-x)=9x^3-18x \ }\)
(C)\(\small{ \ \alpha+\beta+\gamma=3 \ }\)
(1)\(\small{ \ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha \ }\)を求めよ。
(2)\(\small{ \ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 \ }\)の値を求めよ。
(3)\(\small{ \ \alpha^3+\beta^3+\gamma^3 \ }\)の値を求めよ。

(A)(C) より
\(\small{ \ f(x)=ax^3-3ax^2+bx+6 \ }\)とおける。ただし\(\small{ \ a\neq0 \ }\)
(B)より
\(\small{ \ f(x)-f(-x)=2ax^3+2bx=9x^3-18x \ }\)
よって\(\small{ \ a=\displaystyle \frac{9}{2}, \ b=-9 \ }\)
\(\small{ \ \therefore \ f(x)=\displaystyle \frac{9}{2}x^3-\displaystyle \frac{27}{2}x^2-9x+6 \ }\)
(1)解と係数の関係より
\(\small{ \ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\displaystyle \frac{b}{a}=-2 \ }\)

(2)

(3)